Método de Gauss-Jacobi

Seja o sistema linear descrito como segue:

\[Ax = b \to \left[ {\begin{array}{*{20}c} {a_{11} } & {a_{12} } & \cdots & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & \cdots & {a_{2n} } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & \cdots & {a_{nn} } \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {x_1 } \\ {x_2 } \\ \vdots \\ {x_n } \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {b_1 } \\ {b_2 } \\ \vdots \\ {b_n } \\ \end{array}} \right]\]

onde \(A\) é a matriz de coeficientes \(a_{i,j}\) (\(i\)=1, ..., \(n\) e \(j\)=1, ..., \(n\)), \(b\) é o vetor de termos independentes, \(x\) é o vetor de incógnitas e \(n\) é a dimensão do sistema. Neste caso, observa-se que se, tanto a matriz \(A\) como o vetor \(b\) são constituídos por elementos constantes. Resolver um sistema de equações lineares consiste em determinar o vetor de incógnitas \(x\) de modo que o sistema de equações seja satisfeito simultaneamente. De forma prática, como o sistema é linear, pode-se isolar o vetor de incógnitas \(x\), isto é:

\[x = \frac{b}{A} \to x = A^{-1}b\]

onde \(A^{-1}\) é a matriz inversa. A condição para que esta operação possa ser realizada é que \(A\) deve ser uma matriz quadrada, isto é, o número de linhas é igual ao número de colunas, e que \(A\) não seja singular, isto é, o determinante de \(A\) não pode ser nulo.

Para resolver este sistema de equações lineares será considerado o Método de Gauss-Jacobi. Para essa finalidade considere o sistema de equações lineares definido acima, onde objetiva-se determinar o vetor de incógnitas \(x\). Cada equação deste sistema pode ser representada por:

\[\begin{gathered} a_{i1} x_1 + a_{i2} x_2 + \cdots + a_{ii} x_i + \cdots + a_{i,n - 1} x_{n - 1} + a_{in} x_n = b_i ,{\rm{ \;\; }}i = 1,{\rm{ \;}}2, \ldots ,\;n\end{gathered}\]

ou de forma compacta:

\[\begin{gathered} \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} {a_{ij} x_j + a_{ii} x_i } + \sum\limits_{j = i + j}^n {a_{ij} x_j = } {\rm{ }}b_i ,{\rm{ \;\; }}i = 1,{\rm{ \;}}2, \ldots ,\;n\end{gathered}\]

Da equação anterior obtêm-se a seguinte relação:

\[x_i=\frac{1}{a_{ii}}\Bigg(b_i-\sum_{j=1,j\neq i}^{n}a_{ij}x_j\Bigg)\]

Considerando que as equações do sistema linear original estejam ordenadas de forma que os coeficientes na diagonal sejam não nulos (\(a_{ii}\neq\)0), o Método de Gauss-Jacobi consiste em propor um procedimento iterativo constituído pelos seguintes passos: \(i\)) Definir uma estimativa inicial para o vetor de incógnitas \(x\); \(ii\)) Atualizar o vetor de incógnitas \(x\) usando o procedimento apresentado; e \(iii\)) Verificar se o critério de parada proposto foi satisfeito. Em caso afirmativo, o procedimento iterativo é interrompido, caso contrário voltar para o passo \(ii\).

Cabe ressaltar que diferentes critérios de parada podem ser adotados para finalizar o proceso, dentre os quais pode-se citar: \(i\)) o número máximo de iterações; \(i\)) o numéro máximo de avaliações do modelo e \(i\)) o atendimento de uma métrica de convergência, geralmente baseada na estimativa do erro em iterações consecutivas.