Método de Runge Kutta:

Considere uma equação diferencial ordinária de primeira ordem como segue:

\[\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=f(x,y),\;\;\;y(x_{\circ})=y_{\circ} \end{gathered}\]

em que \(x\) e \(y\) representam as variáveis independente e dependentes, respectivamente, \(x_{\circ}\) e \(y_{\circ}\) representam os valores iniciais para as variáveis independente e dependente, respectivamente.

Para resolver esta equação diferencial inúmeras abordagens com diferentes fundamentações teóricas podem ser encontradas. Dentre estes destaca-se a família de Métodos Runge-Kutta. Estes foram desenvolvidos com o objetivo de reduzir o custo associado com o uso de derivadas superiores empregados por abordagens fundamentadas em Série de Taylor. Neste caso, pode-se demonstrar que os resultados obtidos pela família de Métodos Runge-Kutta são equivalentes aos obtidos por métodos baseados em Série de Taylor de alta ordem, todavia, sem fazer uso de derivadas. Conceitualmente, esta família de métodos pode ser escrita como segue:

\[\begin{gathered} y_{i + 1} = y_i + h\alpha \left( {x_i ,y_i ,h} \right) \end{gathered}\]

onde \(\alpha\) é denominada função de incremento e que é escolhida para representar a inclinação da função no intervalo compreendido entre \(x_i\) e \(x_{i+1}\). Esse incremento pode ser definido como:

\[\begin{gathered} \alpha \left( {x_i, y_i, h} \right) = c_1 k_1 + c_2 k_2 + ... + c_n k_n \end{gathered}\]

onde \(n\) denota a ordem do Método de Runge-Kutta, \(c_i\) são constantes que definem cada método e \(k_i\) são relações de recorrência dadas por:

\[\begin{gathered} \begin{array}{*{20}c} {k_1 = f(x_i ,y_i )} \\ {k_2 = f(x_i + p_2 h,y_i + a_{21} hk_1 )} \\ {k_3 = f(x_i + p_3 h,y_i + a_{31} hk_1 + a_{32} hk_2 )} \\ \vdots \\ {k_n = f(x_i + p_n h,y_i + a_{n1} hk_1 + a_{n2} hk_2 + ... + a_{nn - 1} hk_{n - 1} )} \\ \end{array} \end{gathered}\]

Do ponto de vista prático, a atualização do valor de \(k_{i+1}\) depende do valor de \(k_i\), e assim sucessivamente. É importante ressaltar que cada atualização do parâmetro \(k_i\) representa uma avaliação da função \(f\) em um ponto distinto do domínio do problema.

De forma geral pode-se escrever:

\[\begin{gathered} y_{i + 1} = y_i + h\sum\limits_{j = 1}^n {c_j k_j } \end{gathered}\]

onde

\[\begin{gathered} k_j = f\left( {x_i + p_j h,y_i + h\sum\limits_{l = 1}^{j - 1} {a_{jl} k_l } } \right) \end{gathered}\]

Para cada valor de \(n\), pode-se determinar uma família (fórmula) para o cálculo de \(y_{i+1}\). Na prática, existe uma sequência de passos que devem ser cumpridos para a determinação da família de Métodos Runge-Kutta (\(n\) maior que 2), já que para \(n\) igual a unidade, o Método de Runge-Kutta reduz-se ao próprio Método de Euler com \(c_1\) igual a 1. Para \(n\) igual a 4 tem-se o Método de Runge-Kutta-Gill de Quarta Ordem:

\[\begin{gathered} \begin{array}{*{20}c} {y_{i + 1} = y_i + \frac{h}{6}\left( {k_1 + 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)k_2 + 2\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)k_3 + k_4 } \right) }\\ {k_1 = f(x_i ,y_i )}\nonumber \\ {k_2 = f(x_i + \frac{1}{2}h,y_i + \frac{1}{2}hk_1 )} \\ {k_3 = f\left( {x_i + \frac{h}{2},y_i + \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)hk_1 + \left( {1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)hk_2 } \nonumber \right)} \\ {k_4 = f\left( {x_i + h,y_i - \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)hk_2 + \left( {1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)hk_3 } \right)} \end{array} \end{gathered}\]

Cabe destacar que outras variantes para esta mesma ordem podem ser encontradas na literatura, isto é; a partir da montagem do sistema resultante da comparação entre esta abordagem e a expansão em Série de Taylor e da análise do número de graus de liberdade, outras abordagens como a do Método de Runge-Kutta-Gill podem ser encontradas. Finalmente, é importante ressaltar que, apesar da abordagem apresentada ser utilizada para a resolução de uma única equação diferencial, a mesma pode ser facilmente extendida para um sistema de equações diferenciais ordinárias de valor inicial.