Mistura de Catalisadores:

Considere um reator de fluxo pistonado (PFR - Plug Flow Reactor) que contém dois tipos de catalisadores, conforme a representação esquemática a seguir:

Neste reator acontecem duas reações descritas como (Gunn e Thomas, 1965): A para B (com reação direta com constante $k_1$ e reação inversa com $k_2$) e B para C (com reação direta com constante $k_3$). A, B e C representam as espécies químicas envolvidas nestas reações e $k_1$, $k_2$ e $k_3$ são as constantes de reação referente à transformação direta e inversa deste sistema reacional.

Hipóteses e Modelagem Matemática:

Considerando que as propriedades físicas bem como as velocidades das reações são constantes, este processo é modelado pelos seguintes balanços de massa para os componentes A e B:

$$\begin{gathered} \frac{dx_A}{dL}=u(k_2x_B-k_1x_A),\;\;\;\;\;x_A(0)=x_{A\circ}\\ \frac{dx_B}{dL}=u(k_1x_A-k_2x_B)-(1-u)k_3x_B,\;\;\;\;\;x_B(0)=x_{B\circ}\\ 0 \leq u \leq 1 \\ 0 \leq L \leq L_{max} \end{gathered}$$

em que $x_{A}$ e $x_{B}$ representam as frações molares das espécies A e B, respectivamente, $L$ é o comprimento do reator, $x_{A\circ}$, $x_{B\circ}$ são as condições iniciais consideradas para a simulação deste modelo, $u$ é a fração de catalisador, responsável por definir a mistura entre os dois catalisadores considerados, $L_{max}$ é o comprimento máximo do reator. No início do processo, considera-se que somente a espécie A está presente dentro do reator, a assim, $x_{B\circ}$ é igual a 1-$x_{A\circ}$ (neste caso, somente a condição inicial para o componente A deve ser definida pelo usuário). Já a fração molar da espécie C ($x_{C}$) pode ser computada como 1-$x_{A}$-$x_{B}$.

Solução Numérica:

O modelo apresentado é diferencial ordinário de valor inicial. Neste caso, o mesmo pode ser resolvido considerando diferentes abordagens numéricas. Para fins de aplicação, a partir da definição dos parâmetros que constituem o modelo, o mesmo será integrado considerando o Método de Runge Kutta.

Otimização da Mistura de Catalisadores:

Ao se analisar diferentes valores de $u$ pode-se observar variações bem significativas para os perfis de frações molares de ambos os componentes. Neste caso, intuitivamente, deve existir um valor fixo ou uma função de $u$ dependente do comprimento do reator de modo que a fração molar da espécie C possa ser maximizada. Do ponto de vista matemático, este problema pode ser formulado como:

$$\begin{gathered} \max \;1-x_a(L_{max})-x_a(L_{max}) \;\;(\text{ou}\;\; \min \;-(1-x_a(L_{max})-x_a(L_{max})))\\ \frac{dx_A}{dL}=u(k_2x_B-k_1x_A),\;\;\;\;\;x_A(0)=x_{A\circ}\\ \frac{dx_B}{dL}=u(k_1x_A-k_2x_B)-(1-u)k_3x_B,\;\;\;\;\;x_B(0)=x_{B\circ}\\ 0 \leq u \leq 1 \\ 0 \leq L \leq L_{max} \end{gathered}$$

Assim, deseja-se obter o valor ou o perfil de $u$ de forma a otimizar o valor de $x_{C}$. Na área de controle, este é denominado de Problema de Controle Ótimo, sendo $x_{A}$, $x_{B}$ e $x_{C}$ denominados de variáveis de estado e $u$ denominado de variável de controle.

Na literatura especializada, inúmeros são os métodos que podem ser empregados para essa finalidade. Dentre estes pode-se citar duas abordagens, a saber, a Direta e a Indireta. A primeira consiste na transformação do problema original em um equivalente de programação não linear. Neste caso, técnicas como as clássicas ou heurísticas podem ser usadas para encontrar a solução deste problema. Já a abordagem Indireta consiste na transformaçaõ do problema original em um equivalente algébrico-diferencial de valor no contorno a partir da aplicação das condições de otimalidade (Bryson e Ho, 1975).

Para fins de aplicação, o problema de controle ótimo formulado será resolvido considerando o Algoritmo de Evolução Diferencial. Neste cenário, a variável de controle $u$ será considerada uma função constante por partes visto que já foi demonstrado matematicamente que este é a forma da sua solução analítica. Assim, considerando três elementos de controle, pode-se escrever:

$$\begin{gathered} \min \;-(1-x_A(L_{max})-x_B(L_{max}))\\ \frac{dx_A}{dL}=u(k_2x_B-k_1x_A),\;\;\;\;\;x_A(0)=x_{A\circ}\\ \frac{dx_B}{dL}=u(k_1x_A-k_2x_B)-(1-u)k_3x_B,\;\;\;\;\;x_B(0)=x_{B\circ}\\ 0 \leq u_1 < L_{s1} \\ L_{s1} \leq u_2 < L_{s2} \\ L_{s2} \leq u_3 \leq L_{max} \\ \end{gathered}$$

em que $u_1$, $u_2$ e $u_3$ representam os valores do vetor de variáveis de controle em cada um dos elementos e $L_{s1}$ e $L_{s2}$ as posições dentro do reator onde cada controle é efetivamente aplicado.

Na prática, o algoritmo de otimização deverá encontrar os valores de $u_1$, $u_2$, $u_3$, $L_{s1}$ e $L_{s2}$. Assim, o número de variáveis de projeto e os limites para cada uma destas foi definida no próprio código e não serão consideradas como entradas na página da otimização (cada um dos valores de $u$ são definidos dentro do domínio [0,1] e os valores de $L_{s1}$ e $L_{s2}$ foram definidos como [0,$L_{max}/2$] e [$L_{max}/2$,$L_{max}$], respectivamente. Estes são dependentes do comprimento do reator, por simplicidade e de acordo com a literatura base.)

Modelagem Matemática
Simular os Perfis de Concentração
Análise de Sensibilidade
Otimizar a Mistura de Catalisadores