Mistura de Catalisadores:

Considere um reator de fluxo pistonado (PFR - Plug Flow Reactor) que contém dois tipos de catalisadores, conforme a representação esquemática a seguir:

Neste reator acontecem duas reações descritas como (Gunn e Thomas, 1965): A para B (com reação direta com constante \(k_1\) e reação inversa com \(k_2\)) e B para C (com reação direta com constante \(k_3\)). A, B e C representam as espécies químicas envolvidas nestas reações e \(k_1\), \(k_2\) e \(k_3\) são as constantes de reação referente à transformação direta e inversa deste sistema reacional.

Hipóteses e Modelagem Matemática:

Considerando que as propriedades físicas bem como as velocidades das reações são constantes, este processo é modelado pelos seguintes balanços de massa para os componentes A e B:

\[\begin{gathered} \frac{dx_A}{dL}=u(k_2x_B-k_1x_A),\;\;\;\;\;x_A(0)=x_{A\circ}\\ \frac{dx_B}{dL}=u(k_1x_A-k_2x_B)-(1-u)k_3x_B,\;\;\;\;\;x_B(0)=x_{B\circ}\\ 0 \leq u \leq 1 \\ 0 \leq L \leq L_{max} \end{gathered}\]

em que \(x_{A}\) e \(x_{B}\) representam as frações molares das espécies A e B, respectivamente, \(L\) é o comprimento do reator, \(x_{A\circ}\), \(x_{B\circ}\) são as condições iniciais consideradas para a simulação deste modelo, \(u\) é a fração de catalisador, responsável por definir a mistura entre os dois catalisadores considerados, \(L_{max}\) é o comprimento máximo do reator. No início do processo, considera-se que somente a espécie A está presente dentro do reator, a assim, \(x_{B\circ}\) é igual a 1-\(x_{A\circ}\) (neste caso, somente a condição inicial para o componente A deve ser definida pelo usuário). Já a fração molar da espécie C (\(x_{C}\)) pode ser computada como 1-\(x_{A}\)-\(x_{B}\).

Solução Numérica:

O modelo apresentado é diferencial ordinário de valor inicial. Neste caso, o mesmo pode ser resolvido considerando diferentes abordagens numéricas. Para fins de aplicação, a partir da definição dos parâmetros que constituem o modelo, o mesmo será integrado considerando o Método de Runge Kutta.

Otimização da Mistura de Catalisadores:

Ao se analisar diferentes valores de \(u\) pode-se observar variações bem significativas para os perfis de frações molares de ambos os componentes. Neste caso, intuitivamente, deve existir um valor fixo ou uma função de \(u\) dependente do comprimento do reator de modo que a fração molar da espécie C possa ser maximizada. Do ponto de vista matemático, este problema pode ser formulado como:

\[\begin{gathered} \max \;1-x_a(L_{max})-x_a(L_{max}) \;\;(\text{ou}\;\; \min \;-(1-x_a(L_{max})-x_a(L_{max})))\\ \frac{dx_A}{dL}=u(k_2x_B-k_1x_A),\;\;\;\;\;x_A(0)=x_{A\circ}\\ \frac{dx_B}{dL}=u(k_1x_A-k_2x_B)-(1-u)k_3x_B,\;\;\;\;\;x_B(0)=x_{B\circ}\\ 0 \leq u \leq 1 \\ 0 \leq L \leq L_{max} \end{gathered}\]

Assim, deseja-se obter o valor ou o perfil de \(u\) de forma a otimizar o valor de \(x_{C}\). Na área de controle, este é denominado de Problema de Controle Ótimo, sendo \(x_{A}\), \(x_{B}\) e \(x_{C}\) denominados de variáveis de estado e \(u\) denominado de variável de controle.

Na literatura especializada, inúmeros são os métodos que podem ser empregados para essa finalidade. Dentre estes pode-se citar duas abordagens, a saber, a Direta e a Indireta. A primeira consiste na transformação do problema original em um equivalente de programação não linear. Neste caso, técnicas como as clássicas ou heurísticas podem ser usadas para encontrar a solução deste problema. Já a abordagem Indireta consiste na transformaçaõ do problema original em um equivalente algébrico-diferencial de valor no contorno a partir da aplicação das condições de otimalidade (Bryson e Ho, 1975).

Para fins de aplicação, o problema de controle ótimo formulado será resolvido considerando o Algoritmo de Evolução Diferencial. Neste cenário, a variável de controle \(u\) será considerada uma função constante por partes visto que já foi demonstrado matematicamente que este é a forma da sua solução analítica. Assim, considerando três elementos de controle, pode-se escrever:

\[\begin{gathered} \min \;-(1-x_A(L_{max})-x_B(L_{max}))\\ \frac{dx_A}{dL}=u(k_2x_B-k_1x_A),\;\;\;\;\;x_A(0)=x_{A\circ}\\ \frac{dx_B}{dL}=u(k_1x_A-k_2x_B)-(1-u)k_3x_B,\;\;\;\;\;x_B(0)=x_{B\circ}\\ 0 \leq u_1 < L_{s1} \\ L_{s1} \leq u_2 < L_{s2} \\ L_{s2} \leq u_3 \leq L_{max} \\ \end{gathered}\]

em que \(u_1\), \(u_2\) e \(u_3\) representam os valores do vetor de variáveis de controle em cada um dos elementos e \(L_{s1}\) e \(L_{s2}\) as posições dentro do reator onde cada controle é efetivamente aplicado.

Na prática, o algoritmo de otimização deverá encontrar os valores de \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), \(L_{s1}\) e \(L_{s2}\). Assim, o número de variáveis de projeto e os limites para cada uma destas foi definida no próprio código e não serão consideradas como entradas na página da otimização (cada um dos valores de \(u\) são definidos dentro do domínio [0,1] e os valores de \(L_{s1}\) e \(L_{s2}\) foram definidos como [0,\(L_{max}/2\)] e [\(L_{max}/2\),\(L_{max}\)], respectivamente. Estes são dependentes do comprimento do reator, por simplicidade e de acordo com a literatura base.)

Modelagem Matemática
Simular os Perfis de Concentração
Análise de Sensibilidade
Otimizar a Mistura de Catalisadores