Método do Chute Simples:

O Método do Chute Simples é utilizado para resolver problemas de valor no contorno. Este consiste em reescrever o problema original (de valor no contorno) em um equivalente de valor inicial (sistema de equações diferenciais, visto a natureza deste tipo de modelo, a saber, são conhecidas informações em mais de um ponto do domínio de interesse). Para essa finalidade, deve-se arbitrar o valor correspondente à condição definida no contorno (geralmente no final do domínio). Assim, conhecendo-se todas as condições iniciais pode-se integrar o modelo considerando uma das tradicinais técnicas existentes. A grande questão é: como esta estimativa inicial pode ser atualizada? Para responder tal questão, considere uma equação diferencial ordinária de segunda ordem definida no intervalo [\(a\) \(b\)] e sujeita as seguintes condições de contorno como segue:

\[\begin{gathered} \frac{dy^{''}}{dx}=f(x,y,y'),\;\;\;a\leq x \leq b\\ a_{\circ}y(a)-a_1y'(a)=\alpha,\;\;a_{\circ},a_{1} \geq 0\\ b_{\circ}y(b)-b_1y'(b)=\beta,\;\;b_{\circ},b_{1} \geq 0\\ \end{gathered}\]

Conforme destacado por (Davis, 2014), o problema de valor inicial relacionado ao problema de valor inicial é dado como:

\[\begin{gathered} \frac{du^{''}}{dx}=f(x,u,u'),\;\;\;a\leq x \leq b\\ u(a)=a_1 s-c_1 \alpha\\ u'(a)=a_{\circ}s-c_{\circ}\alpha\\ \end{gathered}\]

em que \(s\) é a condição inicial (estimada para o modelo). A seguinte relação entre as constantes que definem este novo problema deve ser satisfeita:

\[\begin{gathered} a_1 c_{\circ} - a_{\circ} c_1 =1 \end{gathered}\]

A solução deste novo problema deve satisfazer, obrigatoriamente, a seguinte condição:

\[\begin{gathered} \phi(s)=b_{\circ}u(b,s)+b_1u'(b,s)-\beta=0 \end{gathered}\]

Esta relaciona as informações originais do problema de valor no contorno para \(x=b\).

Para resolver este problema (diferencial de segunda ordem) considerando as tradicionais técnicas de integração numéricas, inicialmente o mesmo é reescrito como um sistema diferencial de primeira ordem:

\[\begin{gathered} \frac{dw}{dx}=\nu\\ \frac{d\nu}{dx}=f(x,w,\nu)\\ w(a)=a_1s-c_1\alpha\\ \nu(a)=a_{\circ}s-c_{\circ}\alpha \end{gathered}\]

em que \(\nu\) é uma variável auxiliar.

Para resolver este modelo faz-se necessário definir um valor para o parâmetro \(s\). Como este, dificilmente, será o valor verdadeiro para este parâmetro, o mesmo deverá ser atualizado. Para essa finalidade considera-se o Método de Newton:

\[\begin{gathered} s^{i+1}=s^{i}-\frac{\phi(s^{i})}{\phi'(s^{i})} \end{gathered}\]

Neste caso, é necessário determinar a derivada da função \(\phi\) definida anteriormente. Para essa finalidade, primeiro são definidas as seguintes variáveis auxiliares:

\[\begin{gathered} \xi(x)=\frac{\partial w (x,s^{i})}{\partial s)\\ \eta(x)=\frac{\partial \nu (x,s^{i})}{\partial s) \end{gathered}\]

Diferenciando as equações diferenciais relacionadas com \(w\)

e com \(\nu\) com relação à \(s\) obtêm-se as equações de sensibilidade a seguir:

\[\begin{gathered} \frac{d\xi}{dx}=\eta,\;\;\xi(a)=a_1\\ \frac{d\eta}{dx}=\frac{\partial f}{\partial \nu}\eta+\frac{\partial f}{\partial w}\xi,\;\;\eta(a)=a_{\circ} \end{gathered}\]

O sistema formado pelas derivadas de \(w\), \(\nu\), \(\xi\) e \(\eta\) podem ser integrado considerando o Método de Runge Kutta para um valor inicial para o parâmetro \(s\). Com a resolução deste modelo, a derivada de \(\phi\) pode ser avaliada como segue:

\[\begin{gathered} \phi'=b_{\circ}\xi(b,s^{i})+b_1\eta(b,s^{i}) \end{gathered}\]

Tal procedimento é repetido até que um determinado critério de parada seja satisfeito via definição de uma tolerância.

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