Reator de Ciclohexano:

Em engenharia química, um problema de grande interesse é o da predição da difusão e da reação em um pellet de um catalisador poroso. Neste caso, o objetivo é prever a taxa da reação geral do pellet. Definindo o fator de efetividade (\(E\)) como a taxa de reação média no pellet dividida pela taxa de reação média avaliada na superfície. Se \(E\) for igual a 1, então a taxa da reação global no pellet é igual ao valor da superfície e a transferência de massa não tem efeitos limitantes na taxa de reação. Por outro lado, se \(E\) for menor que 1, então os efeitos de transferência de massa limitaram a taxa global, isto é, a taxa de reação média no pellet é menor do que o valor da taxa de reação na superfície devido aos efeitos de difusão (Davis, 2014).

Para fins de aplicação considere uma esfera de alumina catalisada por Pt dispersa onde acontece uma reação para a desidrogenação do ciclohexano. Assim, deseja-se determinar o perfil de concentração de ciclohexano no pellet, bem como o fator de efetividade.

Hipóteses:

Para a formulação deste estudo consideran-se as seguintes hipóteses: $i$): regime estacionário; $ii$) sistema isotérmo; $iii$) a única contribuição é a difusiva; $iv$) considera-se uma reação com ordem pertencente ao intervalo [1 2]; $v$) concentração dependente apenas da direação radial e $vi$) propriedades físicas constantes.

Modelagem Matemática:

Para as hipóteses apresentadas, o modelo matemático (adimensional) que representa a concentração de ciclohexano ao longo da esfera é dado como (Davis, 2014):

\[\begin{gathered} \frac{d^2C}{dR^2}+\frac{2}{R}\frac{dC}{dR}=\Phi^2 C^n\\ \frac{dC}{dR}=0,\;\;\;\;\;R=0\\ C=1,\;\;\;\;\;R=1 \end{gathered}\]

onde \(C\) é a concentração adimensional de ciclohexano (definida como sendo a concentração de ciclohexano em qualquer ponto da esfera sobre a concentração de ciclohexano na superfície da esfera), \(R\) é o raio adimensinoal (definido como sendo a relação entre um raio genérico e o raio da esfera), \(n\) é a ordem da reação e \(\Phi\) é o módulo de Thiele, definido como sendo:

\[\begin{gathered} \Phi=r_p\sqrt{\frac{k}{D}} \end{gathered}\]

em que \(r_p\) é o raio (dimensional) da esfera (5 mm), \(k\) é a constante de taxa (4 \(s^{-1}\)) e \(D\) é a difusividade (5\(\times\) 10\(^{-2} cm\)^2/s), ambas consideradas a 700 K.

Cabe enfatizar que as condições de contorno apresentadas foram definidas de forma a garantir a condição de simetria (não existe fluxo de massa no centro da esfera) e que a concentração na superfície é conhecida. Assim, para o modelo adimensional esta é igual a unidade.

Já o fator de efetividade pode ser computado de acordo com a seguinte relação:

\[\begin{gathered} E=\frac{3}{\Phi}\Big(\frac{dC}{dR}\Big)_{R=1} \end{gathered}\]

Neste processo, fisicamente espera-se que a concentração de ciclohexano diminua ao longo do raio, visto que o mesmo esta sendo consumido pela reação.

Solução Numérica:

O modelo apresentado é um problema de valor de contorno. Para resolver o mesmo, diferentes abordagens podem ser empregadas como, por exemplo, discretização por diferenças finitas em que este modelo é convertido em um equivalente puramente algébrico não linear (se o valor da ordem for diferente da unidade). Todavia, para esta aplicação será empregado o Método do Chute Simples. Em linhas gerais, devido as características do problema, este consiste na transformação do problema de valor no contorno em um equivalente constituído por um sistema de equações diferenciais de valor inicial em que, conforrme o modelo apresentado, apenas uma condição para o raio adimensional é conhecida. Neste caso, o sistema diferencial de valor inicial pode ser integrado considerando o Método de Runge Kutta. Para determinar o valor desta condição inicial, inicialmente, arbitra-se uma relacionada à condição definida para o raio igual a unidade. Como a referida condição inicial não é o real valor da concentração neste ponto, deve-se atualizar a mesma. Isto pode ser realizado via aplicação do Método de Newton

. Para essa finalidade, isto é; encontrar a informação sobre a derivada desta função, requerida por este método, faz-se necessário encontrar as equações de sensibilidade do referido modelo.

A partir da aplicação do Método do Chute Simples, o modelo original de valor no contorno pode ser reescrito como:

\[\begin{gathered} \frac{dC}{dR}=\nu,\;\;C(0)=s\\ \frac{d\nu}{dR}=\Phi^2C^n-\frac{2}{R}\nu,\;\;\nu(0)=0\\ \frac{d\xi}{dR}=\eta,\;\; \xi(0)=1\\ \frac{d\eta}{dR}=n\Phi^2 C^{n-1}\xi-\frac{2}{R}\eta,\;\;\eta(0)=0 \end{gathered}\]

em que \(s\) é a condição inicial arbitrata para a concentração no centro da esfera (\(R\)=0), e \(\nu\), \(\xi\) e \(\eta\) são variáveis auxiliares definidas conforme o desenvvolimento do Método do Chute Simples. Assim, a partir da definição de um valor inicial para \(s\), o mesmo pode ser atualizado conforme a seguinte relação:

\[\begin{gathered} s^{i+1}=s^{i}-\frac{C(R=1,s^{i})-1}{\xi(R=1,s^{i})} \end{gathered}\]

em que \(i\) é o contador do processo iterativo. Em resumo, de posse do valor inicial considerado para \(s\), integra-se o modelo diferencial acima e o valor de \(\xi\) para \(R\) igual a unidade é determinado, bem como o valor da concentração neste mesmo ponto. Assim, conhecendo-se estes valores, \(s\) pode ser atualizado. Tal procedimento é repetido até que um determinado critério de parada seja satisfeito. Neste caso, foi adotado o módulo do erro absoluto em relação à \(s\) em duas iterações consecutivas menor que uma tolerância (especificada pelo usuário) como forma de finalizar o processo iterativo apresentado.

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